Народився у Харкові й у рідному місті розпочав футбольний шлях. Перший клуб Андрія Аніщенка — місцевий «Олімпік», що був правонаступником добре відомого харківського «Маяку».

Виступаючи на позиції центрального захисника, Аніщенко побував і в інших українських клубах — херсонській «Таврії», миколаївській «Артанії», харківських «Арсеналі» й «Геліосі».

У сезоні 1996/97 футболіст захищав кольори «Металіста», а найдовший відрізок його кар’єри (109 матчів з 1997 по 2003 роки) прийшовся на виступ у складі криворізького «Кривбасу». Разом з цим клубом двічі ставав бронзовим призером чемпіонату України.

Завершивши у 2008 році кар’єру гравця, Андрій Аніщенко розпочав тренерську діяльність. З 2011-го успішно керував тренерським штабом молодіжного складу «Металіста».

У 2019 році очолив Академію футболу «Металіст», а з виходом жовто-синіх до УПЛ Андрій Анатолійович став старшим тренером «Металіста» U19.

З березня 2023 року входив у тренерський штаб першої команди.