Народився у Харкові й у рідному місті розпочав футбольний шлях. Перший клуб Андрія Аніщенка — місцевий «Олімпік», що був правонаступником добре відомого харківського «Маяка».

Виступаючи на позиції центрального захисника, Аніщенко в різні роки був гравцем херсонської «Таврії», миколаївської «Артанії», а також харківських клубів «Арсенал» та «Геліос».

У сезоні 1996/97 футболіст захищав кольори «Металіста», а найдовший відрізок його кар’єри (109 матчів з 1997 по 2003 роки) прийшовся на виступ у складі криворізького «Кривбасу». Разом з цим клубом він двічі ставав бронзовим призером чемпіонату України.

Завершивши у 2008 році кар’єру гравця, Андрій Аніщенко розпочав тренерську діяльність. З 2011-го успішно керував тренерським штабом молодіжного складу «Металіста».

У 2019 році очолив Академію футболу «Металіст», а з виходом жовто-синіх до УПЛ Андрій Анатолійович став старшим тренером «Металіста» U19.

З березня 2023 року входив у тренерський штаб першої команди.

З червня 2023 року Андрій Аніщенко — головний тренер харківського «Металіста».