Народився у місті Первомайський Харківської області. 

Футбольний шлях Андрія Кудимова розпочався у харківських командах - «Маяку», який виступав у другій радінській лізі, а також у дублі «Металіста». У 1985 році на той момент 20-річний голкіпер дебютував у чемпіонаті СРСР, вийшовши на заміну у матчі проти донецького «Шахтаря», в якому «Металіст» виграв з рахунком 1:0. 

З 1989 по 1991 роки Кудимов виступав за інші клуби республіки: «Кремінь» (Кременчук), «Металург» (Куп'янськ) та «Автомобіліст» (Суми). Після розпаду Радянського Союзу грав за узбекську «Согдіану», з якою виграв бронзові медалі чемпіонату й повернувся до України у 1995-му. 

За часів незалежності України воротар провів три сезони у першоліговому «Яворі» з Краснопілля та частину сезону у кременчуцькому «Кремені». А з 1999-го по 2001-й роки захищав ворота харківського «Арсенала», в якому й завершив кар'єру футболіста. 

На початку століття Андрій Єгорович розпочав яскраву тренерську кар'єру. Спочатку працював з голкіперами в «Арсеналі», а у 2005-му був запрошений до «Металіста», в якому провів 10 успішних сезонів, сповнених виграних медалей чемпіонату України та регулярних виступів у єврокубках. В тому числі завдяки роботі Кудимова воротарська ланка жовто-синіх, перш за все Олександр Горяінов і Володимир Дішленкович, стабільно демонструвала якісну гру та прогресувала. 

З лютого по серпень 2010-го Андрій Кудимов входив до тренерського штабу Мирона Маркевича у збірній України. 

З березня по червень 2016-го працював тренером воротарів у молдавській «Зорі». 

У сезоні 2022/23 виграв срібні медалі УПЛ з «Дніпром-1». 

Сезон 2023/24 провів у Харкові та працював з вихованцями дитячо-юнацької футбольної школи «Металіст». 

З літа 2024-го Андрій Кудимов - тренер воротарів у першій команді «Металіста».